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\title{TPE : T\'el\'em\'etrie Laser}
%% et le style des entêtes de chaque page
\begin{document}
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\vspace{25pt}
\begin{center}
\Huge{TPE}\\
\vspace{1cm}
\huge{T\'el\'em\'etrie Laser appliqu\'ee au tir}\\
\end{center}
\vspace{1.5cm}
\begin{center}
{\LARGE Arnaud Fontaine}\\
\vspace{0.5cm}
{\LARGE Damien Roque}\\
\vspace{25pt}
(Ann\'ee 2003-2004)
\end{center}
\vspace{25pt}
\hspace{3cm}
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\end{picture}
\thispagestyle{plain}
\vspace{5cm}
\\
\\
\\
\\
\begin{tabular}{ll}
\Large{\textbf{Th\`eme}} & \Large{Espace et mouvement}\\
\Large{\textbf{Sous-th\`eme}} & \Large{Ordre de grandeur, dimensions,
mesures, positions relatives}\\
\Large{\textbf{Probl\'ematique}} & \Large{Quelle est l'utilit\'e de la
t\'el\'em\'etrie laser appliqu\'ee au tir ?}
\end{tabular}
%% Fin de la page de garde du document
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\clearpage
\thispagestyle{plain}
%% Puis on affiche la table des matières
\tableofcontents
%% On saute encore une autre page
\clearpage

\section{Principe du laser}
\subsection{Historique}
Laser~\cite{ph534,phlivre,univ,larousse,sv1023,sv990,svj126} est
l'abr\'eviation de \textit{Light Amplification by Stimulated Emission
of Radiation} (ce qui signifie \textit{amplificateur de lumi\`ere par
\'emission stimul\'ee de rayonnements}). Le principe de l'\'emission
stimul\'ee fut d\'ecrit par Albert Einstein d\`es 1917. La th\'eorie
du pompage optique a \'et\'e \'enonc\'ee par Alfred Kastler en
1949. La premi\`ere application du laser a \'et\'e r\'ealis\'ee en
1960 par le physicien am\'ericain Th\'eodore Maiman qui obtint pour la
premi\`ere fois une \'emission laser en excitant des cristaux de
rubis. En 1961, le physicien am\'ericain Ali Javan mit au point le
premier laser au gaz. Enfin, en 1966, le physicien am\'ericain Peter
Sorokin construisit le premier laser \`a liquide.  Tout d'abord
cantonn\'es \`a la lumi\`ere visible, les lasers couvrent aujourd'hui
toute la gamme des rayonnements \'electromagn\'etiques, des rayons X
et ultraviolets aux ondes infrarouges.

\subsection{Principe du laser} Le laser est un syst\`eme d'\'emission de
lumi\`ere qui permet une grande directivit\'ee et poss\'edant une
puissance pouvant être très \'elev\'ee. Ce syst\`eme est qualifi\'e de
coh\'erent car les photons\footnote{Un photon est une particule de
masse et de charge nulles associ\'ee \`a un rayonnement lumineux ou
\'electromagn\'etique.} du milieu naissent en phase sur le passage
d'autres photons et sont donc en phase avec eux dans leur
d\'eplacement. C'est \'egalement une source monochromatique. Ce
proc\'ed\'e n\'ecessite trois ph\'enom\`enes optiques fondamentaux :
le pompage optique, l'\'emission stimul\'ee et la r\'esonance
optique. Ceux-ci doivent être utilis\'es dans un synchronisme
parfait. Dans cette partie, on considera un laser \`a deux niveaux
d'\'energie.

\begin{figure}[htbp]
\begin{center}
\includegraphics[width=10cm]{img/eps/schema.eps}
\caption{Sch\'ema de fonctionnement du laser}
\end{center}
\end{figure}

\subsubsection*{Pompage optique} Le pompage optique permet d'augmenter le
niveau d'\'energie E des atomes contenus dans un r\'eservoir vers
E'plus important et de r\'ealiser une inversion de
population\footnote{On parle d'inversion de population quand un plus
grand nombre de particules constituantes de ce syst\`eme se trouve au
niveau sup\'erieur plut\^ot qu'au niveau inf\'erieur. Sans ce
proc\'ed\'e dans le milieu actif, le rayonnement laser ne peut \^etre
obtenu.}. cette population d'atomes se situait tout d'abord
majoritairement au niveau E, elle se retrouve ensuite principalement
au niveau E'. L'\'energie n\'ecessaire à ce proc\'ed\'e est fourni par
l'absorption d'une radiation monochromatique logiquement choisie ou
par une d\'echarge \'electrique. Ces deux derniers proc\'ed\'es sont
appel\'es excitateurs.

\subsubsection*{\'Emission stimul\'ee} 
Elle se produit dans le milieu actif. Une fois que les atomes sont à
un haut niveau d'\'energie apr\`es qu'une inversion de population ait
eu lieu, on les fait ensuite revenir rapidement sur leur couche
d'origine. cette perte d'\'energie est \`a l'origine de l'\'emission
d'un photon. On peut parler de cascades de photons pour imager ce
ph\'enom\`ene qui produit l'amplification de la lumi\`ere.\\
\\
On peut opposer cette technique \`a l\'emission spontan\'e qui consiste
\`a produire une lumi\`ere qui se propage de mani\`ere al\'eatoire et
indépendante. De plus ce processus ne fait intervenir aucun processus
externe lors de la d\'esexcitation des atomes. 

\subsubsection*{Cavit\'e r\'esonnante}
Les deux proc\'ed\'es ci-dessus ne sont pas suffisant pour produire
\`a lui seul un faisceau laser. C'est pourquoi le milieu actif est
plac\'e dans ce que l'on appelle un r\'esonnateur optique ou cavit\'e
r\'esonante qui est constitu\'e de deux miroirs parall\`eles entre
lesquels est plac\'e le milieu actif. Le premier miroir appel\'e
miroir r\'eflecteur est totalement r\'efl\'echissant alors que le
second appel\'e coupleur est semi-transparent. Ce dernier permet ainsi
\`a la lumi\`ere de sortir de la cavit\'e. C'est donc lui permet
l'amplification du faisceau laser car les photons, r\'efl\'echis par
les miroirs, peuvent traverser plusieurs fois le milieu actif et
ainsi provoquer l'\'emission stimul\'ee d'un plus grand nombre de
photons. La longueur du r\'esonateur d\'epend de la longueur d'onde de
la lumi\`ere laser, on a les relations suivantes (en consid\'erant que
$c$ est la vitesse de la lumi\`ere, $\nu$ sa fr\'equence, $\lambda$ sa
longueur d'onde et $L$ la longueur du r\'esonateur, $n$ \'etant un
nombre entier) :
\begin{eqnarray*}
\lambda & = & C \: \nu\\
L & = & n \: \lambda
\end{eqnarray*}

 \subsection{Diff\'erents types de lasers}
On distingue cinq grandes familles de lasers selon la nature du milieu
excit\'e. Ainsi on a les lasers \`a solide, gaz, semi-conducteurs,
chimique et colorant. Nous résumons les familles les plus courantes dans
ce tableau :

\begin{center}
\begin{tabular}{|l|l|l|l|l|}
\hline
Famille & Type de laser & Milieu laser & Particules excitables & Couleur\\
\hline
\hline
Laser \`a gaz & Laser h\'elium-n\'eon & Gaz h\'elium-n\'eon & Atomes de
 n\'eon & Rouge\\
& Laser argon & Gaz d'argon & Ions argon & Bleu, vert\\
& & & & et invisible\\
& & & & (ultraviolet)\\
& Laser $CO_{2}$ & M\'elange gazeux (azote, &
 Mol\'ecules de $CO_{2}$  & Invisible \\
& &  h\'elium et $CO_{2}$ & & (infrarouge)\\
& Laser \`a excim\`eres & M\'elange de gaz rare &
 Groupement & Invisible\\
& & et d'halog\`ene & de deux atomes excit\'es & (ultraviolet)\\
\hline
Laser \`a solide & Laser \`a rubis & Rubis & Ions chrome & Rouge\\
& Laser verre-n\'eodyme & Verre dop\'e au n\'eodyme & Ions de n\'eodyme
 & Invisible\\
& & & &  (infrarouge)\\
& Laser Nd-YAG & Grenat d'aluminium & Ions de n\'eodyme & Invisible\\
& & et yttrium (YAG) dop\'e & & (infrarouge)\\
& & au n\'eodyme & & \\
\hline
Laser \`a & Diode laser & Semi-conducteur & \'Electrons
 trous & Rouge\\
semi-conducteurs & & & &\\
\hline
\end{tabular}
\end{center}

\begin{figure}[htbp]
\begin{center}
\includegraphics[width=10cm]{img/eps/3niveaux.eps}
\caption{Sch\'ema du fonctionnement d'un laser \`a rubis}
\end{center}
\end{figure}

%% \subsubsection*{Les lasers \`a trois niveaux d'\'energie} 
%% Le laser \`a rubis qui repr\'esente cette famille est le premier type
%% de laser qui a \'et\'e mis au point. Il repose sur un rubis qui
%% constitue le milieu actif. C'est un cristal d'alumine
%% \textit{Al$_{\textrm{2}}$O$_{\textrm{3}}$} qui est de couleur rose ou
%% rouge suivant le pourcentage d'impuret\'es en ions Cr$^{\textrm{3+}}$,
%% il repr\'esente le milieu d'\'emission et de propagation des
%% photons). Comme le rouge absorbe la lumi\`ere verte du spectre
%% visible, on peut l'utiliser pour jouer le rôle d'excitateur, on peut
%% choisir \'egalement une d\'echarge \'electrique. Celle-ci fait
%% augmenter les ions du niveau fondamental \textit{E$_{\textrm{1}}$} au
%% niveau \textit{E$_{\textrm{2}}$}. Les \'electrons descendent ensuite
%% du niveau \textit{E$_{\textrm{2}}$} au niveau
%% \textit{E$_{\textrm{3}}$} (on parle de transition
%% non-radiative\footnote{On parle de transition non-radiative lorsqu'il
%% n'y a pas de transfert d'\'energie par chaleur.}), ce dernier niveau
%% se remplit rapidement. Enfin, on a un photon \'emis dont l'énergie est
%% d\'efinit par la relation :
%% \begin{displaymath}
%% E = h \: \nu
%% \end{displaymath}

%% C'est ce dernier qui d\'eclenche l'\'emission stimul\'ee (où
%% \textit{E} repr\'esente l'\'energie en Joules, \textit{h} \'etant la
%% constante de Planck et $\nu$ la fr\'equence en Hertz de la lumi\`ere
%% incoh\'erente). On a donc la relation suivante :
%% \begin{displaymath}
%% h \: \nu = E = E_{3} - E_{1}
%% \end{displaymath}

%% \begin{figure}[htbp]
%% \begin{center}
%% \includegraphics[width=10cm]{img/eps/3niveaux.eps}
%%\caption{Sch\'ema du fonctionnement d'un laser \`a trois niveaux d'\'energie}
%% \end{center}
%%\end{figure}

%% La longueur d'onde d'un laser \`a rubis est de 694nm. On trouve
%% d'autres lasers \`a solide qui couvrent dans leur ensemble une grande
%% partie du spectre \'electromagn\'etique, de l'infrarouge \`a
%% l'ultraviolet. Dans cette famille des lasers \`a solide, on trouve
%% \'egalement les lasers contenant des compos\'es de N\'eodyme (tels que
%% le NPP de formule $NdP_{5}O_{14}$ et le LNP de formule
%% $LiNdP_{4}O_{12}$ et les lasers solides \`a Yttritium Aluminium Garnet
%% (compos\'e solide de formule $Y_{3}Al_{5}O_{12}$).

%% \subsubsection*{Les lasers à quatres niveaux d'\'energie}
%% Le premier laser fabriqu\'e dans cette famille est le laser \`a gaz
%% helium-n\'eon (He à 85\% et Ne 15\%). Une d\'echarge \'electrique
%% excite les atomes d'H\'elium et fait passer les atomes du niveau
%% fondamental \textit{E$_{\textrm{1}}$} à \textit{E$_{\textrm{3}}$}. les
%% atomes de H\'elium excit\'es par une d\'echarge \'electrique vont
%% permettre d'exciter par choc les atomes de Ne qui vont donc passer de
%% \textit{E$_{\textrm{3}}$} à \textit{E$_{\textrm{4}}$}. C'est le niveau
%% \textit{E$_{\textrm{3}}$} qui r\'ealise l'inversion de population
%% (transition \textit{E$_{\textrm{2}}$} à \textit{E$_{\textrm{3}}$}
%% non-radiative). On a la relation suivante concernant l'\'energie du
%% photon :
%% \begin{displaymath}
%% h \: \nu = E = E_{3} - E_{4}
%% \end{displaymath}

%% On a enfin un retour au niveau fondamental \textit{E$_{\textrm{1}}$}
%% toujours pas une transition non-radiative. C'est cette \'etape qui
%% permet la production de la lumi\`ere coh\'erente (coh\'erence à la fois
%% temporelle et spatiale).

%%\begin{figure}[htbp]
%% \begin{center}
%% \includegraphics[width=8cm]{img/eps/4niveaux.eps}
%%\caption{Sch\'ema du fonctionnement d'un laser \`a quatre niveaux d'\'energie}
%% \end{center}
%% %%\end{figure}

%% Dans cette famille, on peut classer les lasers \`a gaz mol\'eculaires
%% \`a dioxyde de carbone (de formule $CO_{2}$), \`a atomes neutres
%% h\'elium-n\'eon et enfin ioniques \`a l'argon ($Ar^{+}$). On trouve
%% aussi les lasers \`a semi-conducteurs.

\subsection{Caract\'eristiques du laser}
On consid\`ere le faisceau laser comme unidirectionnel, intense,
monochromatique et coh\'erent.

\paragraph{Un faisceau Unidirectionnel}
Le faisceau laser se propage dans une direction unique, n\'eanmoins, on
peut constater une divergence du faisceau due au ph\'enom\`ene de
diffraction. On peut calculer la divergence du faisceau dans l'air \`a
l'aide de la relation suivante :
\begin{displaymath}
\theta = \frac{\lambda}{w}
\end{displaymath}

$\theta$ repr\'esentant la divergence du faisceau laser exprim\'ee en
radians, $\lambda$ la longueur d'onde et $w$ la largeur minimal.

\paragraph{Un faisceau Intense}
M\^eme si la puissance d'un laser peut \^etre tr\`es faible, celui-ci
produit une lumi\`ere tr\`es concentr\'ee. Ainsi, les lasers \`a
$CO_{2}$ permettent g\'en\'eralement une puissance de 20 $W$ et une
intensit\'e de $4x10^{\tiny{6}} W/m^{2}$, alors que le soleil a une
puissance de $4x10^{\tiny{26}}$ et une intensit\'e de $1400
W/m^{\tiny{2}}$ .

\paragraph{Un faisceau monochromatique}
Le laser poss\`ede une largeur spectrale est tr\`es faible, c'est ce qui
explique que le celui-ci est monochromatique, c'est \`a dire qu'il
contient tr\`es peu de longueurs d'ondes.

\paragraph{Un faisceau Coh\'erent}
Celle-ci peut s'expliquer par l'\'emission stimul\'e et c'est une
cons\'equence de la grande directivit\'e du faisceau laser. En effet,
chaque photon qui compose une lumi\`ere laser oscille en m\^eme temps et
de la m\^eme mani\`ere.

\subsection{Applications du laser}
C'est gr\^ace aux principales caract\'eristiques du laser cit\'ees
ci-dessus que l'on peut utiliser les lasers aussi bien dans l'industrie
que dans la m\'edecine. Le laser est \'egalement tr\`es utilis\'e pour
mesurer des distances. Nous nous focaliserons dans la t\'el\'em\'etrie
laser appliqu\'ee au tir qui n\'ecessite dans certaines circonstances de
grandes pr\'ecisions. Le laser permet cela par sa directivit\'e et sa
coh\'erence tr\`es importante.

\section{Introduction \`a la t\'el\'em\'etrie}
\subsection*{D\'efinition}
La t\'el\'em\'etrie est l'ensemble des techniques permettant de
mesurer la distance qui s\'epare un observateur d'un point
\'eloign\'e. La t\'el\'em\'etrie est utilis\'ee pour recueillir des
mesures r\'ealis\'ees entre des sites inaccessibles ou dangeureux
d'acc\`es. 

\subsection*{Diff\'erents principes utilis\'es pour la
t\'el\'em\'etrie}
Il existe plusieurs types de t\'el\'em\'etrie bas\'es sur diff\'erents
principes, la pr\'ecision des normes obtenues varie selon les techniques
utilis\'ees :\\
\begin{itemize}
  \item Les t\'el\'em\'etres optiques (st\'er\'eroscopiques) qui
  op\`erent par triangulation. Leur manque  de pr\'ecision est souvent
  du au positionnement des lentilles et \`a leurs propri\'et\'es.
  \\
  \item Les t\'el\'em\'etres radio\'electriques qui mesurent le temps
  de parcours aller-retour d'une onde qui se r\'efl\'echit sur l'objet
  dont on veut conna\^itre la distance. Des exemples sont le sonar
  (ultrasons), le radar (ondes electromagn\'etiques et enfin la
  t\'el\'em\'etrie laser. Ce dernier exemple permet d'obtenir des
  mesures rapides calcul\'ees par un dispositif \'electronique).
\end{itemize}

\subsection*{T\'el\'em\'etrie laser}
Elle est bas\'ee sur la mesure du temps mis par une impulsion lumineuse
pour effectuer un aller-retour entre le t\'el\'em\`etre et la cible. On
peut ainsi en d\'eduire la distance s\'eparant l'\'emetteur r\'ecepteur
de la cible (avec $d$ une distance quelconque en m\`etres, $v =
300000km/s$ et $t$ mesur\'e en secondes) :
\begin{displaymath}
v = \frac{d}{t}
\end{displaymath}

\subsection*{Conclusion}
On peut en d\'eduire que le principe des t\'el\'em\`etres optiques et
radio\'electriques sont radicalement diff\'erents. Les t\'el\'eme\`etres
radio\'electriques et notamment les t\'el\'em\`etres lasers
repr\'esentent une technologie moderne, en tout point sup\'erieur aux
syst\`emes optiques. En effet, les t\'el\'em\`etres lasers ont les
avantages d'\^etre compacts et faciles \`a utiliser. Ils peuvent donner
des mesures fiables, rapides \`a obtenir et sur des distances
vari\'ees. Nous allons donc nous int\'eresser \`a ce type d'\'equipement
pour r\'ealiser nos exp\'erimentations.

\section{La balistique}
\subsection{D\'efinition}
La balistique~\cite{fft,fft-bal} est l'\'etude du mouvement des
projectiles. Cette \'etude permet de d\'eterminer les caract\'eristiques
des calibres : \'energie du projectile, vitesse, point d'impact
th\'eorique.\\ \\ On consid\`ere deux types d'\'etudes balistiques :\\
\begin{itemize}
  \item La balistique interne qui traite du mouvement du projectile
  \`a l'int\'erieur du canon.
  \item La balistique externe qui s'int\'eresse au mouvement du
  projectile une fois que ce dernier a quitt\'e le canon.\\
\end{itemize}

Chaque table balistique est caract\'eristique du calibre utilis\'e, on y
trouve donc aussi les propri\'et\'es de la munition (poids de l'ogive,
vitesse du projectile \`a la sortie du canon not\'ee $ V_{0} $).  On
d\'ecide donc d'\'etablir la table balistique du calibre utilis\'e lors
de l'exp\'erimentation. On rel\`eve sur la bo\^ite de munition :\\
\\
\begin{tabular}{ll}
\textit{Calibre} & .22LR\\
\textit{Poids du projectile} & 2.55g\\
\textit{Vitesse du projectile} & $ V_{0} = 330m/s $, $ V_{50} = 300m/s $, $
V_{100} = 240m/s $\\
\\
\end{tabular}
\\
Si l'on parvient \`a mesurer la vitesse du projectile \`a
diff\'erentes distances, il est plus difficile de mesurer l'\'energie
de l'ogive sur ces diff\'erentes distances. On utilise alors la
relation :
\begin{displaymath}
E = \frac{1}{2} \: m \: v^2
\end{displaymath}

On sait que l'\'energie est en joules (not\'e $ E $), la masse en
grammes (not\'e $ m $) et enfin la vitesse en $ m/s $ (not\'e $ v
$). On trouve donc :
\begin{eqnarray*}
E_{0} & = & 137J\\
E_{50} & = & 116J\\
E_{100} & = & 70J
\end{eqnarray*} 

On d\'etermine ensuite la perte d'altitude des ogives en fonction de
la distance :
\begin{displaymath}
z = - \frac{g}{2} \: \left( \frac{L}{V_{0}} \right)^2
\end{displaymath}

Dans notre cas, nous allons \'etudier la balistique externe en
l'appliquant \`a notre exp\'erimentation. Pour proc\'eder \`a cette
\'etude, on fixe les hypoth\`eses suivantes afin de faciliter les
calculs :\\
\begin{itemize}
     \item On se place dans un r\'ef\'erentiel Galil\'een.
     \item On \'etudie le mouvement du projectile dans le vide, ainsi
     on n\'eglige les forces a\'erodynamiques (les frottements).
     \item Le projectile est r\'eduit \`a un point mat\'eriel, il n'a
     donc pas de volume.
     \item Il est stable sur sa trajectoire, l'effet de rotation est
     n\'egligl\'e (ce qu'on appelle l'effet giratoire).
     \item L'acc\'el\'eration due \`a la pesanteur est constante et
     \'egale \`a $ g = 9.81m/s  $.\\
\end{itemize}

On repr\'esente les forces qui agissent sur le projectile. Selon la
seconde loi de Newton, dans un r\'ef\'erentiel galil\'een, la somme
des forces ext\'erieures appliqu\'ees \`a un solide est \'egale au
produit de la masse du solide par l'acc\'el\'eration de son centre
d'inertie \textit{G} :\\
\begin{center}
\begin{tabular}{|ll|}
\hline
\multicolumn{2}{|l|}{\textsl{\textbf{Soit les variables suivantes :}}}\\
$ X $ & est la distance sur l'axe horizontale (\textit{abscisses}).\\
$ Z $ & est la distance sur l'axe verticale (\textit{ordonn\'ees}).\\
$ V_{x} $ & est la vitesse sur l'axe $ X $ (\textit{composante
horizontale de la vitesse}).\\
$ V_{z} $ & est la vitesse sur l'axe $ Z $ (\textit{composante verticale
de la vitesse}).\\
$ \overrightarrow{a_{G}} $ & est l'acc\'el\'eration de pesanteur et la
 valeur de ce vecteur vaut $ 9.81m/s $.\\
$ t $ & repr\'esente le temps.\\
$ m $ & est la masse du projectile.\\
$ V_{0} $ & est la vitesse initiale du projectile.\\
$ L $ & est la distance entre la bouche du canon et la cible.\\
$ \alpha $ & est l'angle entre l'axe du canon et l'horizontale.\\
\hline
\end{tabular}
\end{center}

\begin{figure}[htbp]
\begin{center}
\includegraphics[width=8cm]{img/eps/forces.eps}
\caption{Sch\'ema des forces s'exercant sur le projectile}
\end{center}
\end{figure}

\begin{displaymath}
\sum\overrightarrow{F_{ext}} = m \: \overrightarrow{a_{G}}
\end{displaymath}

Selon les hypoth\`eses fix\'es, le projectile est soumis \`a son poids
uniquement, on a donc :
\begin{eqnarray*}
\sum\overrightarrow{F_{ext}} & = & m \: \overrightarrow{a_{G}}\\
\overrightarrow{P} & = & m \: \overrightarrow{a_{G}}\\
m \: \overrightarrow{g} & = & m \: \overrightarrow{a_{G}}\\
\overrightarrow{g} & = & \overrightarrow{a_{G}}
\end{eqnarray*}

Or :
\begin{displaymath}
\overrightarrow{a_{g}} = m \: \frac{d \: \overrightarrow{v}}{d \: t}
\end{displaymath}

D'o\`u le bilan des forces sur les axes, dans le premier cas sur sur $
OX $, et dans la seconde \'equation sur $ OZ $ o\`u seul le poids agit
sur la trajectoire du projectile :
\begin{eqnarray*}
m \: \frac{d \: \overrightarrow{V_{x}}}{d \: t} & = & 0 \\
m \: \frac{d \: \overrightarrow{V_{z}}}{d \: t} & = & - m \: g  
\end{eqnarray*}

Une double int\'egration donne les vitesses et les chemins parcourus :
\begin{eqnarray*}
V_{x} & = & V_{0} \: \cos\alpha\\
V_{z} & = & V_{0} \: \sin\alpha - g \: t
\end{eqnarray*}

On obtient :
\begin{eqnarray*}
X & = & V_{0} \: \cos\alpha \: t\\
Z & = & V_{0} \: \sin\alpha \: \frac{-1}{2} \: g \: t^2
\end{eqnarray*}

On combine \`a pr\'esent les deux \'equations donnant $X$ et $Z$, on
\'elimine le temps et on trouve :
\begin{displaymath}
Z = - \frac{g}{2} \: \left( \frac{X}{V_{0} \: \cos\alpha} \right)^2 + X \: \tan\alpha 
\end{displaymath}

Cette \'equation est l'expression de la trajectoire sur $ OZ $, on s'aper\c{c}oit
que c'est l'\'equation d'une parabole. 

\begin{figure}[htbp]
\begin{center}
\includegraphics[width=8cm]{img/eps/traj_vide.eps}
\caption{Sch\'ema de la trajectoire du projectile dans le vide}
\end{center}
\end{figure}

Cette \'equation peut-\^etre encore simplifi\'ee. En effet dans le cas
d'un tir sportif, l'angle compris entre l'axe du canon et
l'horizontale est toujours faible. On peut donc le n\'egliger :

\begin{eqnarray*}
\sin\alpha \simeq 0\\
\cos\alpha \simeq 1
\end{eqnarray*}

Dans ces conditions, on a :
\begin{displaymath}
Z = - \frac{g}{2} \: \left( \frac{L}{V_{0}} \right)^2
\end{displaymath}

Ce calcul de l'altitude parcourue par la balle sur $ OZ $ nous permet de
conna\^itre la rectification de la hausse\footnote{La hausse est un
organe de vis\'ee le plus proche de l'oeil. Elle est r\'eglable en
hauteur et lat\'eralement pour permettre d'ajuster le tir. Le r\'eglage
de cet instrument est d\'etermin\'e par le constructeur.} \`a effectuer
pour parvenir \`a un tir juste. Ce r\'eglage de la hausse permet donc de
compenser la perte d'altitude du projectile.

\subsection{R\'esultats}
Gr\^ace aux calculs effectu\'es durant notre \'etude balistique, on
obtient :
\begin{center}
\textsl{\textbf{Table balistique du .22 l.r. par le calcul}}\\
\begin{tabular}{|l|l|l|l|l|l|}
	\hline
	Calibre & Masse (g) & Vitesse (m/s) & \'energie (J) & Fl\`eche
	(cm) \\
	\hline
                \begin{tabular}{l}
		\\
		.22 l.r.\\
		\end{tabular}
        &
                \begin{tabular}{l}
		\\
		2.55\\
		\end{tabular}
        &
                \begin{tabular}{l|l|l} 
		0m & 50m & 100m\\
		330 & 300 & 240\\
                \end{tabular} 
	& 
		\begin{tabular}{l|l|l}
		0m & 50m & 100m\\
		135 & 110 & 70\\
		\end{tabular}
	& 
		\begin{tabular}{l|l} 
		50m & 100m \\
		-11 & -45\\
		\end{tabular}\\
	\hline
\end{tabular}
\end{center}

\subsection{Conclusion}
Nous avons donc \'etabli une table balistique sommaire mais n\'eanmoins
suffisante pour le tir sportif \`a 50m. De plus nous avons pu constater
que celle-ci correspondait \`a celle donn\'ee par le constructeur des
munitions. Nous avons choisi pour simplifier les calculs de n\'egliger
un certain nombre de pram\`etres, aucune incidence n'est constat\'ee sur
les tirs. Cependant, on doit prendre en compte ces conditions pour le
tir longue distance (frottements de l'air, temp\'erature, humidit\'e,
altitude). La r\'ealisation de tables balistiques devient alors
fastidieuse. On utilise dans ce cas des logiciels capable d'effectuer
tous les calculs n\'ecessaires \`a partir des caract\'eristiques
pr\'ecises du complexe armes, munitions et environnement.

\begin{figure}[htbp]
\begin{center}
\begin{tabular}{ll}
\includegraphics[width=8cm]{img/eps/shoot1.eps} &
\includegraphics[width=8cm]{img/eps/shoot2.eps}
\end{tabular}
\caption{Logiciel ``Shoot! V3'' de calcul balistique}
\end{center}
\end{figure}

\section{Exp\'erimentation dans un stand de tir}
\noindent\textbf{Objectif de l'exp\'erimentation :} D\'emontrer
l'utilit\'e de la t\'el\'em\'etrie appliqu\'ee au tir.\\ \textbf{Date
de l'exp\'erimentation :} 19/11/03.\\ \textbf{Lieu :} Stand de tir de
Faverges.

\subsection{Introduction} 
Gr\^ace \`a notre \'etude balistique, nous avons d\'etermin\'e la
trajectoire (verticale) de la balle, on s'est aper\c{c}u que la mesure
distance entre la cible et le tireur jouait un grand r\^ole dans le
calcul du point d'impact th\'eorique.\\
\\
On a \`a notre disposition la table balistique que nous avons calcul\'e
:
\begin{center}
\textsl{\textbf{Table balistique du .22 l.r. par le calcul}}\\
\begin{tabular}{|l|l|l|l|l|l|}
	\hline
	Calibre & Masse (g) & Vitesse (m/s) & \'energie (J) & Fl\`eche
	(cm) \\
	\hline
                \begin{tabular}{l}
		\\
		.22 l.r.\\
		\end{tabular}
        &
                \begin{tabular}{l}
		\\
		2.55\\
		\end{tabular}
        &
                \begin{tabular}{l|l|l} 
		0m & 50m & 100m\\
		330 & 300 & 240\\
                \end{tabular} 
	& 
		\begin{tabular}{l|l|l}
		0m & 50m & 100m\\
		135 & 110 & 70\\
		\end{tabular}
	& 
		\begin{tabular}{l|l} 
		50m & 100m \\
		-11 & -45\\
		\end{tabular}\\
	\hline
\end{tabular}
\end{center}

\begin{figure}[htbp]
\begin{center}
\includegraphics[width=15cm]{img/eps/hausse.eps}
\caption{Sch\'ema des diff\'erents \'el\'ements de la trajectoire du
projectile}
\end{center}
\end{figure}

\subsection{Mat\'eriel n\'ecessaire à l'exp\'erimentation}

\begin{itemize}
	\item Une carabine de calibre .22LR (\'equip\'ee d'organes
	de vis\'ee standard : hausse, guidon).
	\item Une boite de 50 munitions.
	\item Un t\'el\'em\`etre laser.
	\item Des cibles pour tirer \`a 50m.\\
\end{itemize}

L'exp\'erimentation se d\'eroule dans un stand de tir de Faverges. Les
tirs sont effectu\'es en position allong\'ee pour une plus grande
pr\'ecision.\\

\begin{figure}[htbp]
\begin{center}
\begin{tabular}{ll}
\includegraphics[width=8cm]{img/eps/damien.eps} &
\includegraphics[width=8cm]{img/eps/arnaud.eps}
\end{tabular}
\caption{Photos en position de tir}
\end{center}
\end{figure}

\subsection{Protocole exp\'erimental} 
Cette exp\'erience à pour but de prouver l'utilit\'e de la
t\'el\'em\'etrie appliqu\'ee au tir. On utilise une carabine de calibre
.22 LR r\'egl\'ee pour tirer à une distance de 50 m.

\begin{enumerate}
	\item On proc\`ede à un tir de correction destin\'e à v\'erifier le
	r\'eglage à 50m.

        \begin{center}
        \includegraphics[width=8cm]{img/eps/cible50.eps}
        \end{center}

	\item On place une cible à une distance inconnue du tireur.

	\item On effectue quelques tirs centr\'es sur cette cible. On
	s'aperçoit que le groupement est d\'eplac\'e en hauteur. Cela
	n\'ecessite donc une correction au niveau de la hausse.

        \begin{center}
        \includegraphics[width=8cm]{img/eps/ciblex.eps}
        \end{center}

	\item On utilise ensuite le t\'el\'em\`etre laser pour connaître la
	distance cible/tireur.
	\item A partir de la mesure obtenue et de la table balistique,
	on effectue une correction de la hausse de l'arme.
	\item On effectue une nouvelle s\'erie de tirs centr\'es sur cette
	derni\`ere cible.
	
        \begin{center}
        \includegraphics[width=8cm]{img/eps/cible12.eps}
        \end{center}
\end{enumerate}

Sur ces derni\`eres mesures, les tirs sont centr\'es, la hausse est
corrig\'ee grâce à la mesure r\'ealis\'ee et \`a la table balistique du
.22 LR.

\subsection{Mesures} 

La principale mesure à r\'ealiser est la distance qui s\'epare le
tireur de la cible. Dans notre cas, on mesure 12m à l'aide du
t\'el\'em\`etre. On mesure aussi le temps n\'ecessaire à la correction
de la hausse par t\'el\'em\'etrie (on proc\`ede \`a une mesure de
distance, \`a une application à la table balistique et enfin \`a la
correction de la hausse). Cette manipulation dure environ une minute.

\subsection{Exploitation des r\'esultats}
Le t\'el\'em\`etre laser offre une bonne alternative pour connaître la
distance tireur/cible, il permet de donner une mesure pr\'ecise
notamment utile pour les tirs sur de longues distances. Cela dit, nos
r\'esultats prouvent qu'il n'est pas forcement utile de l'utiliser pour
de courtes distances (l'approximation visuelle du tireur suffit).\\ 
\\

D'autre part, le temps n\'ecessaire à la correction de la hausse est
tout de même non n\'egligeable (application impossible aux cibles
mouvantes). On peut en d\'eduire que la t\'el\'em\'etrie laser
appliqu\'ee au tir se montre utile dans certaines circonstances
particuli\`eres comme la chasse au gros gibier, le tir de pr\'ecision au
sein des unit\'es d'\'elite, le r\'eglage des armes en stand dans le
cadre d'un ajustement de la lunette par exemple.

\section{Visite du 7$^{\textrm{\tiny{\`eme}}}$ Bataillon de chasseurs
alpins} 

\subsection{Objectifs de la visite} 
Dans le cadre de notre sujet de TPE, nous avons voulu nous renseigner
sur le mat\'eriel utilis\'e dans l'arm\'e de Terre en rapport avec la
t\'el\'em\'etrie laser. Le combat de l'infanterie \'etant une discipline
d\'ependante du tir de pr\'ecision, nous avons \'et\'e
int\'eress\'es par le mat\'eriel de pointe utilis\'e dans ce corps de
m\'etiers.

\subsection{Pr\'eparation de la visite}
Le 7$^{\textrm{\tiny{\`eme}}}$ BCA \'etant le bataillon d'infanterie
le plus proche de notre lyc\'ee, nous avons choisit de le contacter
pour assister \`a une d\'emonstration du mat\'eriel t\'el\'em\'etrique
en service au sein des diff\'erentes sections. La r\'eponse de la
cellule de communication fut rapide et on nous invita \`a assister \`a
une pr\'esentation du mat\'eriel le mercredi 17 d\'ecembre 2003 \`a
9H45.Nous avons \'et\'e accueillis le jour pr\'evu par l'aspirant
B\'eraud que nous avions contact\'e.

\subsection{Les jumelles t\'el\'em\'etriques} 
Le Sergent Destrigneville nous pr\'esenta un t\'el\'em\`etre laser ayant
la forme d'une simple paire de jumelles ($ G = 7x42 $). Ce t\'el\'em\`etre
fabriqu\'e par la firme Le\"ica est couramment utilis\'e dans les
sections TLD (Tir Longue Distance), il cumule diff\'erents r\^oles :
t\'el\'em\`etre laser, inclinom\`etre, compas num\'erique.

\begin{center}
\begin{tabular}{cc}
\includegraphics[width=8cm]{img/eps/jumellearr.eps} & \includegraphics[width=8cm]{img/eps/jumelleava.eps}\\
\end{tabular}
\end{center}

Cet instrument est utilis\'e sur une port\'ee effective de 4000m, c'est
un appareil robuste et simple \`a utiliser (il comporte seulement deux
boutons), il est possible de l'utiliser avec un tr\'epied pour plus de
pr\'ecision.  Nous avons relev\'e plusieurs fonctions int\'eressantes de
cet instrument de mesure :\\
\begin{itemize}
      \item Possibilit\'e d'obtenir plusieurs relev\'es de distances \`a
	    partir d'une seule mesure.  Cette fonction est utile quand
	    la cible \`a pointer se trouve derri\`ere de l\'egers
	    obstacles (arbres, buissons, herbe). On peut donc \'eviter
	    des erreurs de mesures en \'eliminant les mesures
	    incoh\'erentes.\\

       \item Il est possible en pointant des objets en surplomb, de
	    conna\^itre la distance horizontale et le d\'enivel\'e qui
	    s\'epare le t\'el\'epointeur de sa cible.
	    
	    \begin{center}
	    \includegraphics[width=8cm]{img/eps/fonction1.eps}
	    \end{center}

       \item Pointage successif de deux cibles diff\'erentes permet de
	    conna\^itre la distance qui les s\'epare.

	    \begin{center}
	    \includegraphics[width=8cm]{img/eps/fonction2.eps}
	    \end{center}

       \item La mesure d'une diagonale d'un objet rectangulaire permet
	    de conna\^itre les dimensions de l'objet.
	    
	    \begin{center}
	    \includegraphics[width=8cm]{img/eps/fonction3.eps}
	    \end{center}

       \item Il est possible gr\^ace \`a l'inclinom\`etre de l'appareil de
	    mesurer l'inclinaison d'une pente \`a partir de deux mesures
	    successives.

	    \begin{center}
	    \includegraphics[width=8cm]{img/eps/fonction4.eps}
	    \end{center}
	    
       \item Le compas num\'erique int\'egr\'e au t\'el\'em\`etre
	    permet de conna\^itre l'azimut de la cible, sa position
	    relative hausse permet donc de compenser la perte
	    d'altitude du projectile (agit comme une boussole). Il
	    est possible d'associer un dispositif GPS au compas
	    num\'erique pour conna\^itre les coordonn\'ees absolues de
	    la cible.\\

	    \begin{center}
	    \includegraphics[width=8cm]{img/eps/fonction5.eps}
	    \end{center}
\end{itemize}

Quelques particularit\'es du t\'el\'em\`etre Le\"ica. Plusieurs unit\'es
de mesures sont disponibles :
\begin{itemize}
        \item \textbf{Distances :} M\`etre ; Yard ; Pied.
	\item \textbf{Angles :} Milli\`eme ; Degr\'e ; Gond.\\
\end{itemize}

Le compas num\'erique prend en compte la d\'eclinaison entre l'axe
Nord-Sud et l'axe Nord-Sud magn\'etique. Ces deux axes ne sont pas
identiques et le compas num\'erique, se rep\`ere uniquement avec l'axe magn\'etique. Il est possible de coupler
le t\'el\'em\`etre \`a un intensificateur de lumi\`ere pour une
utilisation nocturne.  Ce genre de dispositif t\'el\'em\'etrique co\^ute
environ 25000 FS. Le 7$^{\textrm{\tiny{\`eme}}}$ BCA poss\`ede 8
t\'el\'em\`etres, tous r\'epartis dans la section TLD, de mani\`ere \`a
obtenir un t\'el\'em\`etre par fusil de pr\'ecision.

\subsection{Le t\'el\'epointeur mortier}
Le sergent chef Vendesavel nous pr\'esenta ensuite en ext\'erieur un TPM
(T\'el\'epointeur Mortier) utilis\'e il y a quelque temps dans
l'infanterie avec des mortiers de 80mm. Cet appareil est mont\'e
sur tr\'epied et s'utilise pour mesurer des distances comprises entre
60m et 20km. 

\begin{center}
\begin{tabular}{cc}
\includegraphics*[width=8cm]{img/eps/tpmarr.eps} &
 \includegraphics*[width=8cm]{img/eps/tpmava.eps}\\
\end{tabular}
\end{center}

Quelques caract\'eristiques du TPM :\\
\begin{itemize}
       \item Comme pour les jumelles Le\"ica, le TPM peut donner trois
	     distances \`a partir d'un seule mesure.\\

       \item Le TPM \'etant \'equip\'e d'un gyroscope, il est possible
	     \`a l'aide d'un GPS de conna\^itre les coordonn\'ees de la
	     cible (GPS + compas num\'erique + distance TPM-cible =
	     coordonn\'ees absolus de la cible).\\

       \item Une autre m\'ethode permet d'obtenir les coordonn\'ees absolus
	     d'une cible : Il faut pouvoir pointer deux sites de
	     coordonn\'ees connues (repr\'esent\'ees sur une carte), ce
	     pointage pr\'ealable permet donc de conna\^itre les
	     coordonn\'ees du TPM. Il suffit enfin de pointer la cible
	     pour obtenir ses coordonn\'ees absolues.\\
\end{itemize}

\textbf{Remarques sur le TPM :} On utilise \`a pr\'esent le TPM
uniquement dans l'artillerie. On place un t\'el\'em\`etre \`a l'avant
pour d\'esigner les cibles et un autre \`a l'arri\`ere pour placer les
mortiers.  Le lien entre les coordonn\'ees des cibles et le r\'eglage
des mortiers est effectu\'e par un calculateur g\'er\'e par un chef de
section d'artillerie. Ce dernier est charg\'e de lier la
t\'el\'em\'etrie \`a la balistique.

\section{Conclusion}
Selon notre \'etude sur la t\'el\'em\'etrie laser appliqu\'ee au tir,
on s'est rendu compte que cette technique \'etait l'instrument le plus
appropri\'e en vue de proc\'eder au tir. En effet, cette discipline
demande beaucoup de pr\'ecision pour les distances. Les
t\'el\'em\'etres radio\'electriques sont les plus performants, parmi
eux le t\'el\'em\'etre laser est celui qui permet d'obtenir les
mesures les plus fiables m\^eme sur de longues distances. Cette
pr\'ecision est li\'ee aux propri\'et\'es physiques du laser \`a
savoir directivit\'e et coh\'erence importante.\\
\\
Cependant, il s'av\`ere que l'on peut s'en dispenser dans certains
cas, lors du tir sur des cibles mouvantes, tir en stand si la cible
est plac\'ee \`a une distance connue, le tir \`a courte port\'ee o\`u
l'approximation visuelle du tireur suffit. Les domaines de
pr\'edilection de la t\'el\'em\'etrie laser restent la chasse, le tir
\`a longue distance, le tir au mortier, comme nous avons pu le
constater au 7$^{\textrm{\tiny{\`eme}}}$ BCA.

\newpage

\include{bibliographie}

\include{remerciements}

\end{document}